Modelação

A Matemática ajuda a compreender a realidade

 

           "É um facto histórico que a Matemática é um utensílio científico útil e importante. Na verdade desenvolveu-se uma acentuada tendência para medir o progresso de uma ciência pela extensão em que ela tenha sido colocada numa base matemática. Que a Matemática, na sua essência uma construção mental, nos diga tanto acerca do mundo real, é de alguma forma uma surpresa. A explicação mais directa - que a Matemática tem esta propriedade porque foi destinada a tê-la - parece não ter em conta toda a subtileza da rica e complexa interacção entre a Matemática e a ciência. Enquanto que muitas aplicações da Matemática surgem 'por encomenda', há muitas que não. O poder da Matemática pode ser atribuído à sua habilidade de extrair conclusões de longo alcance a partir de hipóteses simples. A sua precisão lógica - não perfeita mas refinada a um alto grau - permite que longas e complicadas deduções possam ser efectuadas com confiança no resultado".

                                                                                                     Ian Stewart

  Introdução

        Os objectivos gerais para a disciplina de Matemática, referidos no programa oficial, criam um quadro que nos remete para a diversificação de práticas pedagógicas. Assim, a diferenciação na forma de trabalho, como são exemplo os trabalhos de grupo, a implementação de discussões, o desenvolvimento de capacidades de raciocínio, a resolução de problemas, remete-nos  para uma mudança significativa na natureza das actividades em sala de aula, que vão mais além do que a simples "aquisição de conhecimentos", ou o simples domínio de técnicas de cálculo que, não garantem o reconhecimento da sua aplicabilidade em situações novas. 

        Para além destas considerações é, cada vez mais, necessário saber fazer Matemática, ou seja, usar um conjunto de processos característicos da actividade matemática, como são construir e aplicar determinados conceitos por parte dos alunos. Aqui, eles são chamados a construir a suas próprias aprendizagens, aumentando a sua motivação extrínseca e contribuindo para alterar a concepção negativa que possam ter face à disciplina. 

        Como será isso possível? Uma das possibilidades, é a realização em sala de aula de actividades de Modelação Matemática.

 

  O que é a Modelação Matemática

        Segundo Edwards e Hamsom (1990) "um modelo matemático é o produto da transferência de um conjunto de elementos matemáticos (como sejam, funções ou equações), com vista à obtenção de uma representação matemática de uma parcela do mundo real". Já para  Swetz e Hartzler (1991), "modelo matemático de um objecto ou de um fenómeno real é um conjunto de regras ou leis, de natureza matemática, que representam adequadamente o objecto ou o fenómeno na mente de um observador". Entre estas duas definições existem algumas diferenças, sobretudo no que se refere à aplicação da Matemática para explicar uma parcela do real. 

        O modo como a teoria e as aplicações da Matemática se relacionam é então designado por matematização ou modelação matemática. Isto significa, como afirma Ian Stwart, "Qualquer descrição matemática do mundo real é um modelo. Manipulando o modelo esperamos compreender algo da realidade. E já não perguntamos se o modelo é verdadeiro, perguntamos unicamente se as suas implicações podem ser verificadas experimentalmente".

        Os modelos matemáticos podem ser de diversas formas como sejam uma única equação, um sistema de equações, um sistema de inequações ou para casos mais complexos, um modelo com equações diferenciais. 

        Em qualquer dos casos, é necessário, previamente, definir-se a situação real que se quer estudar, ou seja, identificar com precisão em que consiste o problema. Uma vez ultrapassada esta fase, segue-se a escolha da estrutura matemática utilizada para representar o problema, ou seja, são escolhidas as variáveis que se relacionam de algum modo. Definida a formulação matemática do problema, esta terá que ser testada e analisada de modo a retirar conclusões. Estas, por sua vez, terão que ser interpretadas à luz da situação inicial. É esta a fase de avaliação do modelo. Posteriormente, consoante os resultados, decide-se redefinir o problema, considerar novas variáveis ou alterar a via de resolução. Toda esta descrição constitui um ciclo, o Ciclo de Modelação:

 

Ciclo de Modelação

 

 

 

A altura de uma pessoa em função da medida do pé

        Após as considerações teóricas atrás explanadas,  vejamos de seguida um relato, na primeira pessoa, de um exemplo concreto referente a um problema de modelação utilizado como actividade de aprendizagem, numa turma do 8º ano. 

        Antes de mais, quero referir a minha dificuldade (traduzida em insegurança) na elaboração desta actividade, pois, apesar de ter algum enquadramento teórico sobre o assunto, foi a primeira vez que  o abordei na prática. Esta foi a primeira actividade de modelação por mim elaborada, mas também a primeira que realizada. Passo a explicar: enquanto aluna do ensino básico ou secundário nunca trabalhei a modelação e na qualidade aluna da Universidade de Évora, apenas tive contacto teórico sobre esta temática concreta. Deste modo, esta seria efectivamente a minha primeira abordagem com uma actividade de modelação matemática. Pelas razões anteriormente descritas, foi com alguma apreensão que encarei o desafio de realizar este tipo de actividade. Não me deixando, contudo, amedrontar por estas dificuldades prévias, quis experimentar uma nova experiência e possibilitar aos alunos o confronto com um novo tipo de actividade. 

        Pedi ajuda a quem mais experiência tem sobre o assunto, conseguindo elaborar uma proposta de actividade, não a melhor, mas a possível, dadas as contingências que antecederam a aula da sua execução (problemas de comunicação ao nível da transmissão de dados por e-mail, que impossibilitaram  alterações propostas pela Prof. Doutora A. Paula Canavarro).

        A planificação da aula, da actividade proposta aos alunos, assim como a actividade alterada com os ajustamentos efectuados encontram-se em baixo, à distância de um click.

                             Plano de Aula       Actividade         Actividade corrigida

 

        O problema consistia em tentar  perceber se haveria ou não alguma relação entre a altura de uma pessoa e a medida do seu pé. À partida este era uma temática que poderia entusiasmar a turma, o que de facto acabou por acontecer, sendo notório o empenho, apesar de alguma agitação natural, que a turma demonstrou. Aliás, era meu objectivo apresentar a actividade de forma apelativa, constituindo um desafio que eles teriam de ultrapassar. 

        A aula foi iniciada com uma explicação prévia do que era pretendido. Dada ser esta a primeira vez que a turma iria resolver uma actividade desta natureza, tentei evidenciar o papel de um modelo matemático como explicação da realidade. O passo seguinte seria a recolha dos dados a qual gastou muito tempo, tempo este que no final poderia ter sido melhor aproveitado. De facto, pedi aos alunos na aula anterior que trouxessem a indicação da sua altura e da medida do seu sapato. No entanto,  poucos o fizeram, sendo necessário proceder às medições em plena aula, o que demorou cerca de 40 minutos (preciosos), que poderiam ter sido evitados caso tivesse sido feita uma recolha prévia. Posteriormente, seguiu-se a construção colectiva da representação gráfica dos dados obtidos numa nuvem de pontos. Neste momento, muitos dos alunos mostraram o seu entusiasmo em tentar saber qual dos pontos do gráfico correspondia à sua pessoa e alguns perguntaram se poderiam associar os mesmos pontos aos nomes dos diversos colegas. Foi então evidente que a actividade lhes transmitia algo, de forma concreta.

        Posteriormente, pedi à turma que formasse grupos de trabalho. Era pedida a expressão que relacionasse a altura e a medida do sapato de cada um, o que poderia trazer dificuldades. Após algumas tentativas para determinar a expressão, registou-se um momento colectivo para clarificar o que se pretendia com a construção da expressão. Com o auxílio da calculadora gráfica, foram apresentados diversos exemplos de expressões que evidenciavam o efeito dos parâmetros numa função afim. Neste momento, nos diversos grupos começaram a surgir as primeiras propostas de expressões. Sinceramente, pensei que este passo fosse mais complicado para os alunos, mas apenas um grupo dos seis, não conseguiu apresentar uma proposta e, os que o fizeram, aproximaram-se muito razoavelmente da realidade. 

        Posteriormente, foram colocadas as diversas expressões no quadro e confrontadas com a expressão obtida na calculadora. É de realçar que um dos grupos identificou, de forma muito imaginativa, duas expressões distintas para o modelo em causa: uma expressão para as raparigas e outra para os rapazes. Devido à escassez de tempo algumas questões interessantes ficaram por analisar, por exemplo, a comparação das diversas expressões encontradas pela turma, a coerência dos resultados obtidos, a questão do porquê  considerar duas expressões distintas para os rapazes e raparigas,...

 

Considerações Finais 

       O balanço da aula apresentada é muito positivo, apesar da insegurança que posso ter evidenciado na condução da mesma. Penso que, mesmo sendo uma professora "fresquinha" na prática de actividades de modelação, a aula foi produtiva: os alunos participaram activamente, pareceram satisfeitos e, depois de algum esforço, chegaram ao que se pretendia.  No meu entender, foi uma aula rica nas emoções e que exigiu de mim o tal lado de professora-orientadora, aliado ao de professora-facilitadora, que tanto se discute quando se fala sobre as novas tendências para o ensino da Matemática. Gostei da experiência, sinto que ainda estou um pouco "verde", mas penso que com a prática chegarei até onde pretendo. Após os momentos passados, a vontade de os viver novamente aumentou significativamente.

        Os exemplos práticos de situações reais podem constituir assim boas situações de partida a propor aos alunos. No caso concreto da determinação da altura de um indivíduo em função da medida do seu sapato, pode-se deixar aos alunos a condução da aula e discussão da melhor estratégia. É no entanto importante clarificar os pontos fulcrais do problema como a coerência dos resultados obtidos, a extrapolação para a realidade, o porquê de ser esta a expressão e não outra,... Além disso trata-se de um problema que não exige pré-requisitos exteriores à Matemática, o que facilita a sua execução em aula.

        A abordagem de situações problemáticas a partir de situações reais, devidamente estruturadas, pode desempenhar um papel motivador, especialmente se forem do interesse dos alunos. Para além disso, é necessário, para que estes ganhem sensibilidade para o tipo de estruturas e técnicas matemáticas que se utilizam  em diversas situações, que os alunos se apercebam da ligação entre os vários domínios da disciplina, valorizando a relação existente entre a Matemática e a realidade. Valorizar estas actividades surge como um dos desafios que actualmente se colocam à disciplina.

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