Curiosidades

 

Duplicação do Cubo

        Os três problemas famosos da antiguidade eram a duplicação do cubo, a trissecção de um ângulo e a quadratura de um círculo. Idealmente, os Gregos teriam preferido resolver cada um destes problemas utilizando apenas régua e compasso.

    Conta a história que o povo de Atenas estava a morrer em grande número, dizimado por uma peste e que foi consultado o oráculo de Delos para se descobrir qual o Deus que estava zangado e qual a causa. O oráculo disse que o Deus era Apolo.
       O altar de Apolo, na cidade, era um cubo de ouro sólido e Apolo queria que o altar fosse duas vezes maior do já existente.
       Voltando de Delos para a cidade, o povo construiu um novo altar, com arestas cujo comprimento era duas vezes o comprimento da aresta do altar antigo. A peste tornou-se mais violenta, ao invés de se acalmar, e o povo percebeu que Apolo deveria ter-se referido ao volume do seu altar.

A soma de todos os números entre 1 e 100 pode calcular-se da seguinte forma...

    Conta-se do grande matemático alemão Gauss (1777-1855) que, na escola primária, o professor pediu aos alunos que calculassem a soma de todos os números entre 1 e 100, na expectativa de ficar com algum tempo livre para escrever uma carta.

    Surpreendentemente, o aluno Gauss demorou apenas alguns segundos a dar a resposta, tendo descoberto o processo a seguir apresentado:

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

1 + 100 = 101

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 +100

2 + 99 = 101

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

3 + 98 = 101

1 + 2 + 3 + ... + 50 + 51 + ... + 98 + 99 + 100

50 + 51 = 101

     A soma de um par de parcelas equidistantes dos extremos é sempre 101! E quantos pares temos? 50.

     Então, a soma procurada será 50 x 101 = 5050

 

GOOGOL  E   GOOGOLPLEX  o que é ?

    Um googol é um 1 seguido de cem zeros, isto é, 10100. A designação googol foi criada pelo sobrinho do autor matemático Dr. Edward Kasner, com nove anos de idade. A criança sugeriu ainda outro número, muito maior do que um googol, denominado googolplex, que ele descreveu como sendo um 1 seguido de tantos zeros quantos fosse possível escrever antes da mão ficar cansada. A definição matemática de googolplex é a de um 1 seguido de um googol de zeros, isto é, 10googol.

10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

 

 

O Número de Pessoas no Mundo

The number of people on the planet Earth is now...

 

A Particularidade do Dígito 1

    Um número composto só por algarismos 1, quando elevado a dois, proporciona um resultado, cujo número se inicia com algarismos crescentes, mas a meio do número começa a decrescer.
Ora vejamos:

1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321
1111112 = 12345654321
11111112 = 1234567654321

 

Dupla Pirâmide Numérica

Repare nesta pirâmide sobreposta:

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

 

Soma Curiosa

    Há somas bastante curiosas. Esta é uma delas. É composta por cinco parcelas e nas quatro primeiras, ora são utilizadas todos os dígitos de 1 a 9 seguidos, ora inversamente, como se pode observar:

123456789
987654321
123456789
987654321

+

 2
222222222

 

Número 37

    Este número é um dos que se inserem na família dos números mágicos.
Assim, se se multiplicar o 37 por 3 e seus múltiplos, teremos estes interessantes resultados:

37 x 3 = 111
37 x 6 = 222
37 x 9 = 333
37 x 12 = 444
37 x 15 = 555
37 x 18 = 666
37 x 21 = 777
37 x 24 = 888
37 x 27 = 999

 

Números Perfeitos

        Para quem desconhece, um número perfeito é o que apresenta a particularidade de ser igual à soma de seus divisores – excluindo-se, evidentemente, o próprio número.
        Por exemplo, o número 28 apresenta 5 divisores, menores que 28: 1, 2, 4, 7 e 14. A soma desses divisores: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 é precisamente igual a 28. Portanto, o número 28 pertence à categoria dos números perfeitos.
        O número 6 também é perfeito, pois os divisores de 6 (menores que 6) são: 1, 2 e 3, cuja soma é 6.
        Outro número, igualmente perfeito, é o 496. Vamos conferir. Os divisores de 496, menores que 496 são os seguintes: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 e 248. Ora, se somarmos esses números, o que acontece? Exactamente o número 496!

 

Amizade Quadrática

        O número 256 é o protagonista desta interessante amizade quadrática.
     Vejamos: se somarmos os algarismos de 256 obtemos a soma 13. O quadrado de 13 é 169. Somando agora os algarismos de 169 obtemos 16 e o quadrado de 16 é 256.
     Existe, portanto, entre os números 13 e 16 uma curiosa relação que se pode designar por amizade quadrática.
     Se, porventura, os números falassem poderíamos até imaginar o seguinte diálogo: dizia o 16 ao 13:
     - Quero prestar-te uma homenagem. O meu quadrado é 256 e a soma dos algarismos desse quadrado é 13.
     O 13, desvanecido, responderia:
     - Agradeço a tua simpatia. Quero mesmo retribuir a tua gentileza. Repara que o meu quadrado é 169 e a soma dos algarismos desse quadrado é o 16.

 

Números Amigos

       A amizade está presente até nos números!
     Vejamos: os números 220 e 284, por exemplo. O número 220 é divisível por 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Ou seja são esses os divisores de 220 menores que 220. Quanto ao número 284 é, por sua vez, divisível por 1, 2, 4, 71 e 142. Isto é são os divisores de 284 menores que 284.
     Até aqui nada de especial! Mas há no entanto uma coincidência notável entre esses números: ao somarmos os divisores de 220 obter-se-á uma soma igual a 284 e se somarmos os divisores de 284 o resultado será, curiosamente, 220.
     Foi devido a esta relação aritmética que os números 220 e 284 foram considerados, pelos matemáticos, números amigos, porque cada um deles parece existir para servir e louvar o outro.

 

Regra de Pitágoras para calcular quadrado de um número

    Sabemos que para calcular uma potência basta multiplicar a base o nº de vezes do expoente, ou seja,

por exemplo: 42=4x4=16.

    No entanto Pitágoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potências, baseando-se na soma de números ímpares.

Exemplos:

  • o primeiro número ímpar é 1 então 12=1

  • os primeiros dois números ímpares são 1 e 3, então 22=1+3

  • os primeiros três números ímpares são 1, 3 e 5, então 32=1+3+5

  • os primeiros quatro números ímpares são 1, 3, 5 e 7, então 42=1+3+5+7

e assim sucessivamente

    Se pretendessemos calcular 92 teríamos que

92=1+3+5+7+9+11+13+15+17=81

    Isto é, 92 é igual à soma dos primeiros 9 números ímpares.

 

O maior Número Primo

    O maior número primo conhecido é 26972593-1, que tem 2.098.960 dígitos e foi descoberto em 1/6/99 por Nayan Hafratwala, um participante do GIMPS, um projecto cooperativo para procurar primos de mersenne?
Consulte na Internet a página http://www.mersenne.org/prime.htm

0,12345678910111213141516171819202122...

    Os algarismos deste número são os números naturais por ordem. Tal como os números, p, f e e, é transcendental.

    É ainda um número normal, isto é, quer expresso na base 10, quer em qualquer outra base, cas algarismo ocorre com a mesma frequência. Não é conhecido se p  e e são normais.  

Capicuas

    A) 76367 é a maior capicua conhecida que tem estas propriedades:

- É um número primo;

- Se formos eliminando, um a um, os seus algarismos a partir da esquerda, obtemos sempre números primos.

B) Quadrados Mágicos com Capicuas

 

161

111

181

171

151

131

121

191

141

                       

6006

1001

8008

7007

5005

3003

2002

9009

4004

 

As Pontes de Koenigsberg

 

    Na ilha Kneiphof em Koenigsberg (Prússia), o rio Pregel que a rodeia divide-se em dois braços.

    Sobre os braços do rio estavam construídas sete pontes o que para os habitantes de Koenigsberg,  era motivo de distracção descobrir um itinerário de modo que pudessem regressar ao ponto de partida, depois de  cruzarem as  sete pontes mas passando  uma só vez por cada uma delas.

    Leonard Euler estudou o assunto, representando as distintas zonas A, B, C e D por meio de pontos, enquanto que as pontes estavam representadas por linhas que uniam estes pontos. À a figura chamou grafo, aos pontos  chamou vértices e às  linhas  denominou-as de arestas.

    Euler verificou se uma figura linear se podia desenhar com um só traço, sem levantar o lápis do papel e sem passar duas vezes pelo mesmo sítio.

  Chegou à seguinte conclusão:

1. É impossível se há mais de dois vértices ímpares.

2. É possível quando:

a) Todos os vértices são pares e o ponto de partida pode ser qualquer um;

b) Quando não há mais de dois vértices impares e neste caso o princípio do percurso começa num dos vértices e termina no outro.

(Ímpar é um vértice se dele partem um número ímpar de caminhos).

 

    À ilha A chegam 5 pontes; à  B chegam 3 pontes; a C e D chegam 3 pontes, logo, segundo as conclusões anteriores, o problema não tem solução.

 

Exemplos de figuras que se podem fazer de uma só vez, sem levantar o lápis.

Exemplos de figuras não se podem fazer segundo as condições anteriores.

Quatro cores bastam

         O problema que se segue, só muito recentemente se conseguiu resolver e com a ajuda de um computador. Trata-se de determinar o número mínimo de cores que bastam para colorir bem qualquer mapa no globo ou no plano (este número vai ser o mesmo nos dois casos, globo ou plano). Países com uma linha de fronteira comum comum devem receber cores distintas. Exclui-se que um país esteja partido em pedaços separados colocados dentro de outros (enclaves). É fácil ver que, de outro modo, fixado um número, 6 por exemplo, se pode construir um mapa que necessite de seis cores. Isto é, excluem-se situações como a seguinte:

                                            

        Neste mapa, em que E é o país a rosa, com enclaves em todos os outros, são necessárias cinco cores. 

      Também é claro que três cores não bastam para colorir qualquer mapa. Este, por exemplo, necessita de quatro.

                                            

        

        Mas será que bastam quatro cores?

 

        Vejamos o problema de outra forma. Para um mapa qualquer podemos construir um grafo (um conjunto de pontos, vértices, unidos alguns deles por umas quantas linhas, arcos) associado da seguinte maneira: no interior de cada país assinalamos uma capital, as quais serão os vértices do grafo associado, grafo dual. Se dois países têm uma linha de fronteira comum, unimos as suas capitais por uma estrada que cruze a linha de fronteira comum sem que estas estradas se cruzem. Tais estradas serão os arcos do grafo dual.

 

        Por exemplo, se o mapa é este:

    

   Assinalamos as capitais e unimo-las segundo a regra referida:

 

    

 

  Resulta assim o grafo dual,

    

         Países - Capitais - Vértices do grafo

        Linhas de fronteira vão corresponder a arcos do grafo

 

        O grau de um vértice (capital) do grafo dual, quer dizer, o número de arcos nele concorrentes, é o número de países vizinhos do país correspondente a essa capital (vértice).

        O problema, em termos de grafo dual, consiste em determinar o número mínimo de cores para colorir um grafo como o que resulta de um mapa da forma referida, de modo que dois vértices adjacentes tenham cores distintas.

 

        

    A dificuldade de colorir adequadamente um mapa concreto revela-se rapidamente, de modo claro, no seguinte jogo idealizado por Stephen Barr:

 

        Dois jogadores, A e B, sentam-se com quatro lápis de diferentes cores e um papel. O jogador A desenha uma região. O jogador B põe-lhe uma cor e desenha outra região. Então A pinta-a e desenha outra região... Ganha quem, à base de astúcia ao desenhar as regiões sucessivas, faça que o outro não possa colorir adequadamente a região proposta.

 

 

 

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